堆排序

堆排序

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆的排序算法，具有较高的效率和稳定性。堆排序利用堆这种完全二叉树的数据结构进行排序，常用的是大顶堆（最大堆）来实现升序排序。本文将详细介绍堆排序的原理、步骤、示例、复杂度分析及其Java代码实现。

堆排序的原理

1. 堆的定义：堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其左右子节点的值，这种堆称为大顶堆；每个节点的值都小于或等于其左右子节点的值，这种堆称为小顶堆。
2. 通常堆是通过一维[数组]来实现的。在数组起始位置为0的情形中：

• 父节点i的左子节点在位置$(2𝑖+1)$;
• 父节点i的右子节点在位置$(2𝑖+2)$;
• 子节点i的父节点在位置$(𝑖−1)/2$;
  1. 堆排序的基本思想：
  • 将待排序的数组构造成一个大顶堆。
  • 取出堆顶元素（当前堆中最大值），将其与堆的最后一个元素交换。
  • 调整堆结构，使其满足堆的性质，重复上述步骤直到整个数组排序完成。

堆排序的步骤

1. 构建初始堆：将无序数组构建成一个大顶堆。
2. 交换堆顶元素与末尾元素：将堆顶元素（最大值）与末尾元素交换。
3. 调整堆：将剩余元素重新调整为大顶堆。
4. 重复步骤2和3，直到所有元素有序。

图示

示例

复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n \log n)$、非自适应排序：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。

• 空间复杂度为 $O(1)$、原地排序：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。

• 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。

  时间复杂度

• 所有时间复杂度：$O(n \log n)$。

空间复杂度

• 空间复杂度：$O(1)$

堆排序的代码实现（Java）

public class HeapSort {

    // 主排序函数
    public static void heapSort(int[] arr) {
        int n = arr.length;

        // 构建初始大顶堆,从非叶子结点的元素处开始遍历
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            heapify(arr, n, i);
        }

        // 逐步将堆顶元素与末尾元素交换，并调整堆
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            // 将当前堆顶元素与末尾元素交换
            int temp = arr[0];
            arr[0] = arr[i];
            arr[i] = temp;

            // 调整堆
            heapify(arr, i, 0);
        }
    }

    // 调整堆
    public static void heapify(int[] arr, int n, int i) {
        int largest = i; // 当前节点
        int left = 2 * i + 1; // 左子节点
        int right = 2 * i + 2; // 右子节点

        // 如果左子节点大于当前节点，则更新最大值
        if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
            largest = left;
        }

        // 如果右子节点大于当前节点，则更新最大值
        if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
            largest = right;
        }

        // 如果最大值不是当前节点，则交换，并递归调整堆
        if (largest != i) {
            int swap = arr[i];
            arr[i] = arr[largest];
            arr[largest] = swap;
			//如果交换了,需要确认被交换的叶子节点仍然是个大顶堆
            heapify(arr, n, largest);
        }
    }

    // 主函数
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};
        System.out.println("Given Array:");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();

        // 调用堆排序函数
        heapSort(arr);

        System.out.println("\nSorted Array:");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}