排序算法
排序算法（sorting algorithm）用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。
排序算法（sorting algorithm）用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。
排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。
评价维度
运行效率
我们期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（时间复杂度中的常数项变小）。对于大数据量的情况，运行效率显得尤为重要。
时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。
就地性
顾名思义，原地排序通过在原数组上直接操作实现排序，无须借助额外的辅助数组，从而节省内存。通常情况下，原地排序的数据搬运操作较少，运行速度也更快。
空间复杂度： 用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。
稳定性
稳定排序在完成排序后，相等元素在数组中的相对顺序不发生改变。
如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后面。
自适应性
自适应排序的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳时间复杂度、最差时间复杂度、平均时间复杂度并不完全相等。
自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。
是否基于比较
依赖比较运算符（$<$、$=$、$>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组。
基于比较的排序理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而非比较排序不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。
理想的排序算法
运行快、原地、稳定、正向自适应、通用性好。显然，迄今为止尚未发现兼具以上所有特性的排序算法。因此，在选择排序算法时，需要根据具体的数据特点和问题需求来决定。
常见排序算法复杂度表
- n: 待排序元素的数量
- k: 桶排序和计数排序中的数值范围或基数排序中的数字基数
| 排序算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 最佳 | 平均 | 最差 | |||
| 冒泡排序 | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定 |
| 插入排序 | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定 |
| 折半插入排序 | $O(n\log n)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定 |
| 选择排序 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定 |
| 归并排序 | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n)$ | 稳定 |
| 快速排序 | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n^2)$ | $O(\log n)$ | 不稳定 |
| 堆排序 | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(1)$ | 不稳定 |
| 希尔排序 | $O(n\log^2 n)$ | 取决于间隔序列 | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定 |
| 基数排序 | $O(nk)$ | $O(nk)$ | $O(nk)$ | $O(n + k)$ | 稳定 |
| 计数排序 | $O(n + k)$ | $O(n + k)$ | $O(n + k)$ | $O(n+k)$ | 稳定 |
| 桶排序 | $O(n)$ | $O(n + k)$ | $O(n^2)$ | $O(n \cdot k)$ | 稳定 |
| 鸡尾酒排序 | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定 |
| 梳排序 | $O(n\log n)$ | $\Omega (\frac{n^2}{2^p})$ | $\Omega(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定 |
| 奇葩排序算法 | |||||
| 睡眠排序 | $O(n)$ | 不确定 | 不确定 | $O(1)$ | 不稳定 |
| 随机排序 | $O(n)$ | 不确定 | 不确定 | $O(1)$ | 不稳定 |
算法简介
冒泡排序
冒泡排序通过交换相邻元素来实现排序。通过添加一个标志位来实现提前返回，我们可以将冒泡排序的最佳时间复杂度优化到 $O(n)$ 。
插入排序
插入排序每轮将未排序区间内的元素插入到已排序区间的正确位置，从而完成排序。虽然插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，但由于单元操作相对较少，因此在小数据量的排序任务中非常受欢迎。
快速排序
快速排序基于哨兵划分操作实现排序。在哨兵划分中，有可能每次都选取到最差的基准数，导致时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。引入中位数基准数或随机基准数可以降低这种劣化的概率。尾递归方法可以有效地减少递归深度，将空间复杂度优化到 $O(\log n)$ 。
归并排序
归并排序包括划分和合并两个阶段，典型地体现了分治策略。在归并排序中，排序数组需要创建辅助数组，空间复杂度为 $O(n)$ ；然而排序链表的空间复杂度可以优化至 $O(1)$ 。
桶排序
桶排序包含三个步骤：数据分桶、桶内排序和合并结果。它同样体现了分治策略，适用于数据体量很大的情况。桶排序的关键在于对数据进行平均分配。
计数排序
计数排序是桶排序的一个特例，它通过统计数据出现的次数来实现排序。计数排序适用于数据量大但数据范围有限的情况，并且要求数据能够转换为正整数。
基数排序
基数排序通过逐位排序来实现数据排序，要求数据能够表示为固定位数的数字。
总的来说，我们希望找到一种排序算法，具有高效率、稳定、原地以及正向自适应性等优点。然而，正如其他数据结构和算法一样，没有一种排序算法能够同时满足所有这些条件。在实际应用中，我们需要根据数据的特性来选择合适的排序算法。
Q & A
Q：排序算法稳定性在什么情况下是必需的？
在现实中，我们有可能基于对象的某个属性进行排序。例如，学生有姓名和身高两个属性，我们希望实现一个多级排序：先按照姓名进行排序，得到 (A, 180) (B, 185) (C, 170) (D, 170) ；再对身高进行排序。由于排序算法不稳定，因此可能得到 (D, 170) (C, 170) (A, 180) (B, 185)。
可以发现，学生 D 和 C 的位置发生了交换，姓名的有序性被破坏了，而这是我们不希望看到的。
Q：哨兵划分中“从右往左查找”与“从左往右查找”的顺序可以交换吗？
不行，当我们以最左端元素为基准数时，必须先“从右往左查找”再“从左往右查找”。这个结论有些反直觉，我们来剖析一下原因。
哨兵划分 partition() 的最后一步是交换 nums[left] 和 nums[i] 。完成交换后，基准数左边的元素都 <= 基准数，这就要求最后一步交换前 nums[left] >= nums[i] 必须成立。假设我们先“从左往右查找”，那么如果找不到比基准数更大的元素，则会在 i == j 时跳出循环，此时可能 nums[j] == nums[i] > nums[left]。也就是说，此时最后一步交换操作会把一个比基准数更大的元素交换至数组最左端，导致哨兵划分失败。
举个例子，给定数组 [0, 0, 0, 0, 1] ，如果先“从左向右查找”，哨兵划分后数组为 [1, 0, 0, 0, 0] ，这个结果是不正确的。
深入思考一下，如果我们选择 nums[right] 为基准数，那么正好反过来，必须先“从左往右查找”。
Q：关于尾递归优化，为什么选短的数组能保证递归深度不超过 $\log n$ ？
递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在尾递归优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组长度的一半。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。
回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况出现。
Q：当数组中所有元素都相等时，快速排序的时间复杂度是 $O(n^2)$ 吗？该如何处理这种退化情况？
是的。对于这种情况，可以考虑通过哨兵划分将数组划分为三个部分：小于、等于、大于基准数。仅向下递归小于和大于的两部分。在该方法下，输入元素全部相等的数组，仅一轮哨兵划分即可完成排序。
Q：桶排序的最差时间复杂度为什么是 $O(n^2)$ ？
最差情况下，所有元素被分至同一个桶中。如果我们采用一个 $O(n^2)$ 算法来排序这些元素，则时间复杂度为 $O(n^2)$ 。